题目内容
为了对某校高三（1）班9月调考成绩进行分析，在全班同学中随机抽出5位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排列为75、80、85、90、95，物理分数从小到大排列为 73、77、80、87、88．（I）求这5位同学中恰有2位同学的数学和物理分数都不小于85分的概率；
（II）若这5位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
从散点图分析，y与x，z与x之间都有较好的线性相关关系，分别求y与x，z与x的线性回归方程，并用相关指数比较所求回归模型的拟合效果．
参考数据：
，
2=250，
，
，
，
．
【答案】分析：（I）先则需要先从数学的3个不小于85分数中选出2个与2个物理不小于85分数对应的种数，然后将剩下的3个数学分数和物理分数任意对应的种数，最后根据乘法原理问题得解；
（II）根据最小二乘法计算可得回归方程
中的b和a，回归直线方程即得，通过相关指数R2的计算可以得到回归方程的拟合程度．
解答：解：（I）这5位同学中恰有2位同学的数学和物理分数均为不小于85分，
则需要先从数学的3个不小于85分数中选出2个与2个物理不小于85分数对应，
种数是C32A22（或A32），然后将剩下的3个数学分数和物理分数任意对应，种数是A33．
据乘法原理，满足条件的种数是C32A22A33． （2分）
这5位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A55． （5分）
故所求的概率
． （4分）
（II）设y与x、z与x的线性回归方程分别是
、
．
根据所给的数据，可以计算出
，
．（8分）
所以y与x和z与x的回归方程分别是
、
．（11分）
∴
（yi-
i）2=02+02+（-1）2+22+（-1）2=6，
∴
（zi-
i）2=（-2）2+22+12+02+（-1）2=10，
又y与x、z与x的相关指数是
、
． （11分）
故回归模型
比回归模型
的拟合的效果好．（12分）]
点评：本题考查组合及运算、概率、相关系数的运算、回归直线方程的求法和回归模型的拟合效果判断等多方面知识和方法．本题综合性强，所用知识、方法众多，将回归分析的相关知识的考查发挥到了极致，尽管已知中提供了大量的数据，但计算量仍然很大，如相关系数、相关指数的计算、最小二乘法的使用等等，这会使计算过程容易出错；就本题的题意而言，思路清晰、方向明确，找到解题的途径并不难．
（II）根据最小二乘法计算可得回归方程
中的b和a，回归直线方程即得，通过相关指数R2的计算可以得到回归方程的拟合程度．解答：解：（I）这5位同学中恰有2位同学的数学和物理分数均为不小于85分，
则需要先从数学的3个不小于85分数中选出2个与2个物理不小于85分数对应，
种数是C32A22（或A32），然后将剩下的3个数学分数和物理分数任意对应，种数是A33．
据乘法原理，满足条件的种数是C32A22A33． （2分）
这5位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A55． （5分）
故所求的概率
． （4分）（II）设y与x、z与x的线性回归方程分别是
、．根据所给的数据，可以计算出
，．（8分）所以y与x和z与x的回归方程分别是
、．（11分）∴
（yi-i）2=02+02+（-1）2+22+（-1）2=6，∴
（zi-i）2=（-2）2+22+12+02+（-1）2=10，又y与x、z与x的相关指数是
、． （11分）故回归模型
比回归模型的拟合的效果好．（12分）]点评：本题考查组合及运算、概率、相关系数的运算、回归直线方程的求法和回归模型的拟合效果判断等多方面知识和方法．本题综合性强，所用知识、方法众多，将回归分析的相关知识的考查发挥到了极致，尽管已知中提供了大量的数据，但计算量仍然很大，如相关系数、相关指数的计算、最小二乘法的使用等等，这会使计算过程容易出错；就本题的题意而言，思路清晰、方向明确，找到解题的途径并不难．
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