题目内容
一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数ξ的概率分布列及期望．
（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率；
（Ⅱ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数ξ的概率分布列及期望．
分析：（Ⅰ）第一次和第二次取到红球的概率都是
，由此能求出连续取两次都是红球的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
解答：解：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率：P=
×
=
；…（4分）
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=
，
P(ξ=2)=
×
=
，
P(ξ=3)=(
)2×
=
，
P(ξ=4)=(
)3=
．
∴ξ的概率分布列为
Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
=
．…（12分）
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 25 |
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，
P(ξ=1)=
| 1 |
| 5 |
P(ξ=2)=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
P(ξ=3)=(
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 16 |
| 125 |
P(ξ=4)=(
| 4 |
| 5 |
| 64 |
| 125 |
∴ξ的概率分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 25 |
| 16 |
| 125 |
| 64 |
| 125 |
| 369 |
| 125 |
点评：本题考查离散型随机变量的概率分布列和数学期望的求法，是中档题，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，注意排列组合和概率知识的灵活运用．
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