Question

已知椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为

2 2

3

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C短轴的一个端点为（0，1），知椭圆的焦点在x轴上，b=1，由e=

c

a

=

2 2

3

，知a=3，由此能求出椭圆方程．
（2）联立方程组

x2 9 +y2=1 y=x+2

，得10x²+36x+27=0，由此利用弦长公式能够求出张段AB的长．

解答：（本小题满分10分）
解：（1）∵椭圆C短轴的一个端点为（0，1），
∴椭圆的焦点在x轴上，b=1，…（2分）
∵e=

c

a

=

2 2

3

，

c2

a2

=

8

9

，∴得a=3，…（3分）
所以其标准方程是：

x2

9

+y2=1．…（4分）
（2）联立方程组

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0．…（5分）
△=36²-4×10×27＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=-

18

5

，x1x2=

27

10

，…（7分）
所以|AB|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1y1

=

6

5

3

．…（10分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．