题目内容

如图直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-14x+4（AB+2）=0的两个根（OA＜OB），P为直线l上异于A、B两点之间的一动点．且PQ∥OB交OA于点Q．
（1）求直线l_AB斜率的大小；
（2）若 $数学公式$ 时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；
若不存在，说明理由．

解：（1）由
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ．∴k=tan∠BAO= $\text{[math]}$ ．
（2）∵ $\text{[math]}$
即P为AB的中点，∴PQ= $\text{[math]}$ =4．
（3）由已知得l方程为4x+3y=24（*）

①当∠PQM=90°时，由PQ∥OB且|PQ|=|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）
有（a，a）代入（*）得a= $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ．
②当∠MPQ=90°，
由PQ∥OB且|MP|=|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a= $\text{[math]}$ ．
③当∠PMQ=90°，由PQ∥OB，|PM|=|MQ|且|OM|=|OQ|=|PQ|
设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a= $\text{[math]}$ ．
综上所述，y轴上有三个点M₁（0，0），M₂（0， $\text{[math]}$ ）和M₃（0， $\text{[math]}$ ）满足使△PMQ为等腰直角三角形．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，进而得到OA=6，OB=8，由此能得到直线l_AB斜率的大小．
（2）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，即P为AB的中点，由此能求出PQ= $\text{[math]}$ =4．
（3）由已知得l方程为4x+3y=24，然后分∠PQM=90°，∠MPQ=90°，∠PMQ=90°三种情况分别讨论，求出点M的坐标．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，注意分类讨论法的合理运用．