题目内容
（2013•河东区一模）已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
，求斜率k的值；
②已知点M(-
，0)，求证：
•
为定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
5
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为-
| 1 |
| 2 |
②已知点M(-
| 7 |
| 3 |
| MA |
| MB |
分析：（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为-
，即可求斜率k的值；
②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为-
| 1 |
| 2 |
②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
解答：（1）解：因为
+
=1(a＞b＞0)满足a2=b2+c2，
=
，…（2分）
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，可得
×b×2c=
．
从而可解得a2=5，b2=
，
所以椭圆方程为
+
=1…（4分）
（2）证明：①将y=k（x+1）代入
+
=1中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0…（6分）
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
…（7分）
因为AB中点的横坐标为-
，所以-
=-
，解得k=±
…（9分）
②由①知x1+x2=-
，x1x2=
所以
•
=(x1+
，y1)(x2+
，y2)=(x1+
)(x2+
)+y1y2…（11分）
=(x1+
)(x2+
)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(
+k2)(x1+x2)+
+k2…（12分）
=(1+k2)
+(
+k2)(-
)+
+k2=
+
+k2=
…（14分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
5
| ||
| 3 |
| 1 |
| 2 |
5
| ||
| 3 |
从而可解得a2=5，b2=
| 5 |
| 3 |
所以椭圆方程为
| x2 |
| 5 |
| y2 | ||
|
（2）证明：①将y=k（x+1）代入
| x2 |
| 5 |
| y2 | ||
|
△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，x1+x2=-
| 6k2 |
| 3k2+1 |
因为AB中点的横坐标为-
| 1 |
| 2 |
| 3k2 |
| 3k2+1 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
②由①知x1+x2=-
| 6k2 |
| 3k2+1 |
| 3k2-5 |
| 3k2+1 |
所以
| MA |
| MB |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
=(x1+
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 7 |
| 3 |
| 49 |
| 9 |
=(1+k2)
| 3k2-5 |
| 3k2+1 |
| 7 |
| 3 |
| 6k2 |
| 3k2+1 |
| 49 |
| 9 |
| -3k4-16k2-5 |
| 3k2+1 |
| 49 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．
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