Question

（2012•浦东新区三模）已知函数y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1，
（1）当f（x）=sin（x+φ）为偶函数时，求φ的值．
（2）当f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）时，g（x）在A上是单调递减函数，求θ的取值范围．
（3）当f（x）=m•sin（ωx+φ₁）时，（其中m∈R且m≠0，ω＞0），函数f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，又关于直线x=π成轴对称，试探讨ω应该满足的条件．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，可得 2sinxcosφ=0，故cosφ=0，由此可得φ 的值．
（2）化简 函数f（x）的解析式为

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，A=[-

7

，

7

]．化简g（x）=(x-2

7

tanθ)2+1-28tan²θ，由题意可知：2

7

tanθ≥

7

，tanθ≥

1

2

，由此可得θ的取值范围．
（3）由条件得 （2n-1）

T

4

=π-

π

2

，再由n∈N^*，（2n-1）

π

2ω

=

π

2

，可得ω=2n-1．由f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称求得ωx+φ₁ =kπ+

π

2

，可得φ₁ =kπ+

π

2

．再由f（x）的图象关于直线x=π成轴对称，所以 sin（πω+φ₁ ）=±1，可得 πφ+kπ+

π

2

=k′π+

π

2

，k′∈z，由此求得ω 满足的条件．

解答：解：（1）因为函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化简为 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+

π

2

，k∈z…（4分）
（2）∵函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

sin（2x+

π

3

）=

3

sin2x+2cos2x=

7

sin（2x+α）∈[-

7

，

7

]，
其中，sinα=

2

7

，cosα=

3

7

，所以 A=[-

7

，

7

]…（8分）
g（x）=x²-（4

7

tanθ）x+1=(x-2

7

tanθ)2+1-28tan²θ，
由题意可知：2

7

tanθ≥

7

，tanθ≥

1

2

，∴kπ+arctan

1

2

≤θ≤kπ+

π

2

，k∈z，
即θ的取值范围是[kπ+arctan

1

2

，kπ+

π

2

]，k∈z．（10分）
（3）由f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称，又关于直线x=π成轴对称，故（2n-1）

T

4

=π-

π

2

．…（12分）
再由n∈N^*，（2n-1）

π

2ω

=

π

2

，所以，ω=2n-1，①（14分）
由f（x）的图象关于点（

π

2

，0）对称知道 sin（

π

2

ω+φ₁）=0，∴ωx+φ₁ =kπ+

π

2

，
∴

π

2

（2n-1）+φ₁ =kπ，k∈z，φ₁ =kπ+

π

2

．
又因为f（x）的图象关于直线x=π成轴对称，所以 sin（πω+φ₁ ）=±1，
∴πφ+kπ+

π

2

=k′π+

π

2

，k′∈z，所以，ω=k，k∈N^* ②．（16分）
由①②可知，ω=2n-1，n∈N^*． （18分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，
属于中档题．