题目内容
【题目】已知函数,
,对于不相等的实数
、
,设
,
,现有如下命题:
①对于任意不相等的实数、
,都有
;
②对于任意的及任意不相等的实数
、
,都有
;
③对于任意的,存在不相等的实数
、
,使得
;
④对于任意的,存在不相等的实数
、
,使得
;
其中所有的真命题的序号是_______.
【答案】①④
【解析】
①根据函数单调性的定义来判断是否正确. ②通过举反例来判断是否正确. ③通过构造函数,利用导数研究
的单调性来判断是否正确. ④通过构造函数
,利用导数研究
的单调性来判断是否正确.
对于①,由于在
上单调递增,根据单调性的定义可知,对于任意不相等的实数
、
,都有
,故①是真命题.
对于②,当时,
,则
,所以②是假命题.
对于③,若,则
,即
,即
,令
,由于
,所以
不是单调函数.令
,得
.令
,则由
解得
,所以
在
上递减,在
上递增,当
时
取得极小值也即是最小值,所以
不满足对任意实数
成立.所以③错误.
对于④,若,则
,即
,即
,令
,由于
,所以
不是单调函数.令
,得
.令
,则
,所以
在
上单调递减,值域为
,所以
满足对任意实数
成立.所以对于任意的
,存在不相等的实数
、
,使得
,所以④为真命题.
故答案为:①④
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