题目内容
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路
（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数
的图象，且点M到边OA距离为
．
（1）当
时，求直路所在的直线方程；
（2）当
为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？
【答案】
（1）
；（2）
时，
.
【解析】
试题分析：（1）点M到边OA距离为
，则可设
，当
时，求切线的方程是一个常规问题，切线的斜率是
处的导数，易求出直线的点斜式方程；（2）要求不含泳池一侧的面积，就是要把这个面积表示为变量的函数，为此需要确定切线与线段
的交点，当然也可能是与线段
的交点，这作一个判断或分类讨论，面积函数解决后，用一般求最值的方法，则可解决问题.
试题解析：
（1）对函数
求导得，
，
，又
，所以切点
，切线
的方程为
，即；
（2）
，过切点
的切线
即
，令
得
，故切线
交
于点
；
令
，得
，又在
递减，所以
故切线与OC交于点
。
地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，
面积
，当，。
考点：导数的应用、函数的最值.
练习册系列答案
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如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=-x2+2（0≤x≤
如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数
（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数
）的图象，且点M到边OA距离为
．
时，求直路
的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．
时，求直路l所在的直线方程；