Question

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=-

1

2

x2+2(0≤x≤2的图象，且点M到边OA距离为t（0＜t＜2）．
（Ⅰ）当t=

1

2

时，求直路l所在的直线方程；
（Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求当t=

1

2

时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=-

1

2

x2+2在x=

1

2

时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；
（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=-

1

2

x2+2的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜2）上的极大值，也就是最大值．

解答：解：（I）∵y=-

1

2

x2+2，∴y′=-x，
∴过点M（t，-

1

2

t2+2）的切线的斜率为-t，
所以，过点M的切线方程为y-(-

1

2

t2+2)=-t(x-t)，即y=-tx+

1

2

t2+2．
当t=

1

2

时，切线l的方程为y=-

1

2

x+

17

8

．
即当t=

1

2

时，直路l所在的直线方程为y=-

1

2

x+

17

8

；
（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=-tx+

1

2

t2+2，
令y=2，得x=

t

2

，故切线l与线段AB交点为F（

t

2

，2），
令x=2，得y=

1

2

t2-2t+2，故切线l与线段BC交点为G（2，

1

2

t2-2t+2）．
地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，

设其面积为f（t），
∴f(t)=

1

2

|FB||BG|=

1

2

(2-

1

2

t)(-

1

2

t2+2t)
=

1

8

t3-t2+2t（0＜t＜2）．
f′(t)=

3

8

t2-2t+2=

1

8

(t-4)(3t-4)，
∴当t∈（0，

4

3

）时，f′（t）＞0，f（t）为单调增函数，
当t∈(

4

3

，2)时，f′（t）＜0，f（t）为单调减函数．
∴当t=

4

3

时，f（t）的极大值（最大值）为f(

4

3

)=

1

8

×(

4

3

)3-(

4

3

)2+2×

4

3

=

32

27

．
∴当点M到边OA距离为

400

3

米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为

320000

27

平方米．

点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．