Question

（本题12分）已知等比数列{a_n}的公比q＝3，前3项和S₃＝.

(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅱ)若函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值，且最大值为a₃，

求函数f(x)的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n＝×3^n－1＝3^n－2.（2）f(x)＝3sin.

【解析】本试题主要是结合数列的概念得到数列的通项公式，然后结合三角函数中的性质得最值问题，从而求解得到解析式。

（1）利用等比数列{a_n}的公比q＝3，前3项和S₃＝，结合前n项和公式解得首项，从而得到通项公式

（2）中利用第一问的结论，得到a₃＝3，从而得到函数的振幅，同时把x＝代入解析式中，是的函数取得最大值，得到φ的值，从而求解得到解析式。

解：(Ⅰ)由q＝3，S₃＝得＝，解得a₁＝. 所以a_n＝×3^n－1＝3^n－2.

(Ⅱ)由(1)可知a_n＝3^n－2，所以a₃＝3.  因为函数f(x)的最大值为3，所以A＝3；因为当x＝时f(x)取得最大值，所以sin＝1.  又0<φ<π，故φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin.