题目内容

三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC上的射影为O，且满足
OA
+
OB
+
OC
=
.
0
，A点在侧面PBC上的射影H是△PBC的垂心，PA=6，则此三棱锥体积最大值是（　　）
分析：由
OA
+
OB
+
OC
=
.
0
，说明P点在平面ABC内的射影O为底面三角形的重心，再由A点在平面PBC内的射影为三角形PBC的垂心，可证得BC⊥PA，从而可证明AD⊥BC，根据D为BC的中点，说明AB=AC，同理可证AB=BC，得到底面三角形ABC为
等边三角形，设底面边长为x，把高PO用x表示，写出三棱锥体积公式后运用基本不等式求最大值．
解答：解：如图，∵O是P在平面ABC内的射影，且满足
OA
+
OB
+
OC
=
.
0
，
∴O为三角形ABC的重心，连接AO并延长交BC于D，连接BO并延长交AC于F，则D、F分别为BC和AC的中点，
∵AH⊥平面PBC，BC?平面PBC，∴AH⊥BC，
∵H为三角形PBC的垂心，∴PH⊥BC，又∵PH∩AH=H，
∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PA，
∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC，
又∵PA∩PO=P，∴BC⊥平面PAO，∴BC⊥AO，BC⊥AD．
D为BC的中点，AD⊥BC，∴AB=AC．
∵CH⊥PB，AH⊥PB，AH∩CH=H，∴PB⊥面AHC，∴PB⊥AC，
又∵PO⊥AC，PO∩PB=P，∴AC⊥平面PBO，
∴AC⊥BO，AC⊥BF，
又∵F为AC的中点，∴AB=BC，∴三角形ABC为等边三角形．
设三角形ABC的边长为x，则AD=
3
x
2
，AO=
2
3
AD=
2
3
×
3
x
2
=
3
x
3
，又PA=6，
∴PO=
PA2-AO2
=
36-
x2
3

∴VP-ABC=
1
3
×
1
2
x•
3
x
2
•
36-
x2
3
=
3
12
x2•x2(36-
x2
3
)
=
3
12
36•
x2
6
•
x2
6
(36-
x2
3
)
≤
3
2
(
x2
6
+
x2
6
+36-
x2
3
3
)3
=36．
当且仅当
x2
6
=36-
x2
3
，即x=6
2
时“=”成立．
故选B．
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查了运用基本不等式求函数最值，此题属中档题．
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π2
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12
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6
6
6
6
．

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