题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，直线
：
与以原点为圆心、椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）矩形
在
轴右侧，且顶点、
在直线
上，顶点
、
在椭圆上，若矩形的面积为
，求直线
的方程.
【答案】（1）
（2）
.
【解析】
（1）由题设条件知
，再由直线
与圆
相切，知
，由此可求出椭圆
的方程．
（2）设直线
：
，
，
，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式得到
，再由两平行线之间的距离公式得到
，则
，得到方程
，最后根据函数的单调性及特殊值得出参数
的值，即可得解；
解：（1）由已知得
，圆点到直线
的距离
所以，
，
解得
，，
.
所以的方程为：.
（2）设直线：，，
把
代入：得
……
且
，解得
，
且
，
，
可得，
由两平行线之间的距离公式可得，
由可得，
记
，其中，
则函数
在
上单调递减.
且
，故
，因此直线的方程为.
阅读快车系列答案【题目】2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占
，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成
列联表，并回答能否有
的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 | 没兴趣 | 合计 | |
男 | 55 | ||
女 | |||
合计 |
（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月（30天）的需求量展示如下：
日需求量x（个） | 20 | 30 | 40 | 50 |
天数 | 5 | 10 | 10 | 5 |
（1）从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率．
（2）以上表中的频率作为概率，列出日需求量
的分布列，并求该月的日需求量的期望．
（3）根据（2）中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值为
；现有员工建议扩大生产一天45个，求利用利润的期望值判断此建议该不该被采纳．
