Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)．
（1）若函数y=f（x）的导函数是偶函数，求a的值；
（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（3）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据求导公式和法则求出函数的导数，再由二次函数是偶函数的条件求出a的值；
（2）把x=1代入切线方程求出f（1），再把此点代入曲线方程及把x=1代入导函数列方程组求a和b，求出临界点和单调区间，再求出极值和端点处的函数值，进行比较得最大值；
（3）将条件转化为“函数f'（x）在（-1，1）存在零点”，求出f'（x）=0的根，再结合区间长度判断出：f'（x）在（-1，1）只有一个零点，列出列出不等式进行求解．

解答：解：（1）由题意得，f'（x）=x²-2ax+a²-1，
∵f'（x）是偶函数，∴-2a=0，解得a=0，
（2）由题意知（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2，
又∵（1，2）在y=f（x）上，∴2=

1

3

-a+a2-1+b   ①，
由f'（1）=-1，得1-2a+a²-1=-1  ②
由①②，解得a=1，b=

8

3

，
∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x，
由f'（x）=0得x=0或x=2，
当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0；当0＜x＜2时，f'（x）＜0；
∴函数y=f（x）的减区间为（0，2），增区间为（-∞，0），（2，+∞），
∴x=0或x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8，
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（3）∵函数f（x）在区间（-1，1）不单调，∴以函数f'（x）在（-1，1）存在零点．
由f'（x）=0得，x²-2ax+a²-1=0，解得x=a-1或x=a+1，则区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点，即f'（x）在（-1，1）只有一个零点．
则f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0，
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，解得-2＜a＜2．
又由a≠0，a的取值范围为（-2，0）∪（0，2）．

点评：本题考查了导数的综合应用：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值问题，以及函数零点等，考查了转化思想和分析、解决问题的能力．