Question

若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，前n项和为T_n，并且，求通项a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且．对?n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∴a_n[a_n-（2n-1）]=0
∴a_n=2n-1，或a_n=0
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即为首项为4，公差为2的等差数列，
∴
由得
∴①；②
①-②可得
∴
不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4
也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即需要恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2ⁿ；n=4时，3n+1＜2ⁿ；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
归纳知：n≥4时，3k+1＜2^k，，∴m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3
分析：（Ⅰ）利用，根据新定义，可求通项a_n；
（Ⅱ）由{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即为首项为4，公差为2的等差数列，从而可求数列{b_n}的前n项和为S_n，从而不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4，分离参数可得恒成立，利用归纳法，可求m的取值范围．
点评：本题考查新定义，等差数列的性质、通项、前n项和公式，错位相减法求和，恒成立，数学归纳法，探索分析和推理解决问题的能力．