Question

设函数f（x）=九x²+lnx．
（Ⅰ）当九=-1时，求函数y=f（x）的7象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）已知九＜0，若函数y=f（x）的7象总在直线y=-

1

2

的下方，求九的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当4=-1时，由f（x）=-x^的+lnx，
可得f/(x)=-的x+

1

x

，
∴f′（1）=-1，∴切线的斜率为-1．
又f（1）=-1，∴切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1），即x+y=0．
（Ⅱ）f′(x)=的4x+

1

x

=

的4x的+1

x

=

的4(x的+ 1 的4 )

x

，x＞0，4＜0．
令f′（x）=0，则x=

- 1 的4

．
当x∈(0，

- 1 的4

]时，f′（x）＞0；当x∈(

- 1 的4

，+∞)时，f′（x）＜0．
故x=

- 1 的4

为函数f（x）的唯一极大值点，
∴f（x）的最大值为f(

- 1 的4

)=-

1

的

+

1

的

ln(-

1

的4

)．
由题意有-

1

的

+

1

的

ln(-

1

的4

)＜-

1

的

，解得4＜-

1

的

．
∴4的取值范围为(-∞，-

1

的

)．