Question

20．已知a、b∈R⁺，其a+b=4，求$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$的最小值．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$）（a+b）=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{6}$+$\frac{b}{3a}$+$\frac{a}{2b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a、b∈R⁺，其a+b=4，
∴$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$）（a+b）
=$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{6}$+$\frac{b}{3a}$+$\frac{a}{2b}$）≥$\frac{1}{4}$（$\frac{5}{6}$+2$\sqrt{\frac{b}{3a}•\frac{a}{2b}}$）=$\frac{5+2\sqrt{6}}{24}$，
当且仅当$\frac{b}{3a}$=$\frac{a}{2b}$即a=4$\sqrt{6}$-8且b=12-4$\sqrt{6}$时取等号，
∴$\frac{1}{3a}$+$\frac{1}{2b}$的最小值为：$\frac{5+2\sqrt{6}}{24}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．