Question

6、对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x²+px＞4x+p-3都成立的x的取值范围是

x＞3或x＜-1

．

Answer 1

分析：把已知的不等式的右边移项到左边后，把p看作未知数，x为字母已知数，设不等式左边为f（p），由x不等于1得到f（p）为p的一次函数，对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x²+px＞4x+p-3都成立转化为一次函数f（p）在0≤p≤4内恒大于0，即f（0）和f（4）都大于0，把p=0和p=4代入一次函数中列出关于x的两个一元二次不等式，分别求出不等式的解集，再求出两解集的交集即为满足题意的x的取值范围．

解答：解：原不等式化为：x²+（x-1）p-4x+3＞0
设f（p）=（x-1）p+x²-4x+3，
∵x-1≠0（否则原不等式不成立），
∴f（p）为一次函数，要使f（p）在0≤p≤4内恒大于0，
则有f（0）＞0且f（4）＞0，
即x²-4x+3＞0且x²-1＞0，
因式分解得：（x-1）（x-3）＞0且（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＞3或x＜1且x＞1或x＜-1，
∴不等式x²+px＞4x+p-3都成立的x的取值范围是x＞3或x＜-1．
故答案为：x＞3或x＜-1

点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了函数的思想以及转化的思想，是一道中档题．