Question

点M在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据正三角形的性质可求得圆的半径，及M到y轴的距离，进而根据圆M与x轴相切求得，r=

b2

a

．求得a和b的关系式，进而根据c=

3

求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）先看当直线与x轴垂直时，把x=1代入椭圆方程求得y_A的表达式，进而根据|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立求得a的范围；再看l不垂直于x轴时，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）及直线方程，把直线方程代入椭圆方程消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，看当当a²-a²b²+b²＞0对k∈R不是恒成立的．当a2-a2b2+b2=0时，a=

1+ 5

2

，恒成立．当a²-a²b²+b²＜0时恒成立，进而推断出a²＜（a²-1）b²=b⁴，求得a的范围．最后综合可得答案．

解答：解：（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，
∴M到y轴的距离d=

3

又圆M与x轴相切，∴当x=c时，得y2=

b4

a2

，∴r=

b2

a

．
∴

b2

a

=2，c=

3

∵a²-b²=c²，
∴a²-3=2a，解得a=3或a=-1（舍去），则b²=2a=6．
故所求椭圆方程为

x2

9

+

y2

6

=1．
（II）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得

y

2 A

=

b2(a2-1)

a2

．
∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴2(1+

y

2 A

)＜4

y

2 A

，

y

2 A

＞1，即

a2-1

a

＞1．
解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

（舍去），即a＞

1+ 5

2

．
②当l不垂直x轴时，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
直线AB的方程为y=k(x-1)，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1
得（b²+a²k²）x²-2a²k²x+a²k²-a²b²=0，
则x1+x2=

2a2bk2

b2+a2k2

，x1x2=

a2k2-a2b2

b2+a2k2

∵恒有|OC|²+|OD|²＜|CD|²，∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²＜（x₂-x₁）²+（y₂-y₁）²，|OC|²+|OD|²＜|CD|²恒成立，得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=

(a2-a2b2+b2)k2-a2b2

b2+a2k2

，
由题意得，（a²-a²b²+b²）k²-a²b²＜0对k∈R恒成立．
当a²-a²b²+b²＞0对k∈R不是恒成立的．
当a2-a2b2+b2=0时，a=

1+ 5

2

，恒成立．
当a²-a²b²+b²＜0时恒成立，∴a²＜a²b-b²，即a²＜（a²-1）b²=b⁴，
∵a＞0，b＞0，
∴a＜b²，即a＜a²-1，
∴a²-a-1＞0，解得a＞

1+ 5

2

或a＜

1- 5

2

，即a＞

1+ 5

2

．
综上，a的取值范围是[

1+ 5

2

，+∞)

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，平时应加强训练．