Question

2．已知函数f（x）=ax³+x²+bx （其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，推出g（x）的表达式，利用函数的奇偶性推出a，b的值即可．
（2）求出函数的极值点，利用函数的单调性，以及端点的函数值求出最值即可．

解答 解：（1）由题意得f′（x）=3ax²+2x+b，∴g（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b，
又∵g（x）是奇函数，∴$\left\{\begin{array}{l}3a+1=0\\ b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{3}\\ b=0\end{array}\right.$，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²．…（6分）
（2）由（1）可知g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+2x，∴g′（x）=-x²+2，令g′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
列表：

x	（-∞，-$\sqrt{2}$）	-$\sqrt{2}$	（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	极小值-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$	↗	极大值$\frac{4\sqrt{2}}{3}$	↘

…（10分）
又g（1）=$\frac{5}{3}$＜g（$\sqrt{2}$），g（2）=$\frac{4}{3}$，
所以g（x）在区间[1，2]上的最大值为g（$\sqrt{2}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
最小值为g（2）=$\frac{4}{3}$．…（13分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的单调性的判断与应用，利用导数求解函数在闭区间上的最值，考查分析问题解决问题的能力．