Question

已知a＞0，且a≠1，设P：函数y=log_ax在区间（0，+∞）内单调递减；Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．
（1）求Q正确时，a的取值范围；
（2）求P与Q有且只有一个正确的充要条件．

Answer 1

分析：（1）由二次函数的判别式求出命题q成立时a的取值范围
先由对数函数的单调性求出命题p成立时a的取值范围，再求出p真q假和p假q真时a的取值范围，最后取并集即可．

解答：解：（1）Q正确?

a＞0，且a≠1 △=(2a-3)2-4＞0

?a＞

5

2

或0＜a＜

1

2

．
（2）P正确?0＜a＜1，
∴P正确，且Q不正确?

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

?

1

2

≤a＜1；（5分）
P不正确，且Q正确?

a≥1 a＞ 5 2 或a＜ 1 2

?a＞

5

2

．（6分）
P与Q有且只有一个正确的充要条件是

1

2

≤a＜1或a＞

5

2

．（8分）

点评：本题考查了对数函数的单调性、二次函数根的判定及否命题的知识．