题目内容
【题目】已知函数只有一个零点,且这个零点为正数,则实数
的取值范围是____.
【答案】
【解析】
先运用导数得出函数的单调性和单调区间,再结合函数图象求出a的取值范围.
解:令=3x2﹣3a2=3(x﹣a)(x+a)=0,解得x1=﹣a,x2=a,
其中a>0,所以函数的单调性和单调区间如下:
x∈(﹣∞,﹣a),f(x)递增;x∈(﹣a,a),f(x)递减;x∈(a,+∞),f(x)递增.
因此,f(x)在x=﹣a处取得极大值,在x=a处取得极小值,
结合函数图象,要使f(x)只有一个零点x0,且x0>0,只需满足:
f(x)极大值=f(﹣a)<0,即﹣a3+3a3﹣6a2+4a<0,
整理得a(a﹣1)(a﹣2)<0,解得,a∈(1,2),
故答案为:(1,2)
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