题目内容

已知函数，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又g（1）=0，f（）=2-
（1）求f（x）的表达式及值域；
（2）问是否存在实数m，使得命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）和q：满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）函数表达式的求解主要根据函数性质，如此题中f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称；求值域应先判断函数单调性，再求解
（2）复合命题p且q为真命题即p，q均为真命题，利用函数的单调性以及反函数的性质，求出两个命题不等式的解集即可求出结果．
解答：解：（1）因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，g（1）=0，则f（0）=1即b=1，
又由f（）=，得+2=2，可得a=-1，故f（x）的表达式为f（x）=（x≥0）
f（x）==在定义域[0，+∞）上单调递减，f（0）=1，又因为f（x）＞0，所以f（x）的值域为（0，1]
（2）复合命题p且q为真命题即要求p，q均为真命题．
命题p：∵f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，
故命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）为真命题?m2-m＞3m-4≥0?m且m≠2；
命题q：g（），因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，所以两个函数互为反函数，具有相同的单调性，所以f（）==，所以，即m．
p，q均为真命题时m的范围是．
点评：本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的单调性、反函数、分式不等式的解法、命题的真假判断等知识，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5．
①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．
已知函数f（x）=x2+ax+b（a＞0，b∈R），x∈R
（1）若-1为f（x）=0的一个根，且函数f（x）的值域为[-4，+∞），求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，h（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=
1
3
ax3+  
1
2
bx2+cx
（1）若函数f（x）有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=
9
2
，x1x3=-12，且a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f(1)=-
1
2
a，且3a＞2c＞2b，试问：导函数f′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．
（2013•房山区一模）已知函数f（x）的定义域是D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；  ②f（
x
5
）=
1
2
f（x）；  ③f（1-x）=1-f（x）．则f（
4
5
）=
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2
1
2
，f（
1
2013
）=
1
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1
32
．
（2013•房山区一模）已知函数f（x）的定义域是D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；  
②f(
x
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)=
1
2
f(x)；  
③f（1-x）=1-f（x）．
则f(
4
5
)=
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2
，f(
1
12
)=
1
4
1
4
．

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