题目内容

已知函数,且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,又g(1)=0,f()=2-
(1)求f(x)的表达式及值域;
(2)问是否存在实数m,使得命题p:f(m2-m)<f(3m-4)和q:满足复合命题p且q为真命题?若存在,求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
【答案】分析:(1)函数表达式的求解主要根据函数性质,如此题中f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称;求值域应先判断函数单调性,再求解
(2)复合命题p且q为真命题即p,q均为真命题,利用函数的单调性以及反函数的性质,求出两个命题不等式的解集即可求出结果.
解答:解:(1)因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,g(1)=0,则f(0)=1即b=1,
又由f()=,得+2=2,可得a=-1,故f(x)的表达式为f(x)=(x≥0)
f(x)==在定义域[0,+∞)上单调递减,f(0)=1,又因为f(x)>0,所以f(x)的值域为(0,1]
(2)复合命题p且q为真命题即要求p,q均为真命题.
命题p:∵f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,
故命题p:f(m2-m)<f(3m-4)为真命题?m2-m>3m-4≥0?m且m≠2;
命题q:g(,因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,所以两个函数互为反函数,具有相同的单调性,所以f()==,所以,即m
p,q均为真命题时m的范围是
点评:本题考查函数与方程的综合应用,涉及函数的单调性、反函数、分式不等式的解法、命题的真假判断等知识,考查分析问题解决问题的能力.
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