题目内容
已知函数
，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又g（1）=0，f（
）=2-
（1）求f（x）的表达式及值域；
（2）问是否存在实数m，使得命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）和q：
满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）函数表达式的求解主要根据函数性质，如此题中f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称；求值域应先判断函数单调性，再求解
（2）复合命题p且q为真命题即p，q均为真命题，利用函数的单调性以及反函数的性质，求出两个命题不等式的解集即可求出结果．
解答：解：（1）因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，g（1）=0，则f（0）=1即b=1，
又由f（
）=
，得
+2=2
，可得a=-1，故f（x）的表达式为f（x）=
（x≥0）
f（x）=
=
在定义域[0，+∞）上单调递减，f（0）=1，又因为f（x）＞0，所以f（x）的值域为（0，1]
（2）复合命题p且q为真命题即要求p，q均为真命题．
命题p：∵f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，
故命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）为真命题?m2-m＞3m-4≥0?m
且m≠2；
命题q：g（
）
，因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，所以两个函数互为反函数，具有相同的单调性，所以f（
）=
=
，所以
，即m
．
p，q均为真命题时m的范围是
．
点评：本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的单调性、反函数、分式不等式的解法、命题的真假判断等知识，考查分析问题解决问题的能力．
（2）复合命题p且q为真命题即p，q均为真命题，利用函数的单调性以及反函数的性质，求出两个命题不等式的解集即可求出结果．
解答：解：（1）因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，g（1）=0，则f（0）=1即b=1，
又由f（
）=，得+2=2，可得a=-1，故f（x）的表达式为f（x）=（x≥0）f（x）=
=在定义域[0，+∞）上单调递减，f（0）=1，又因为f（x）＞0，所以f（x）的值域为（0，1]（2）复合命题p且q为真命题即要求p，q均为真命题．
命题p：∵f（x）在定义域[0，+∞）上单调递减，
故命题p：f（m2-m）＜f（3m-4）为真命题?m2-m＞3m-4≥0?m
且m≠2；命题q：g（
），因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，所以两个函数互为反函数，具有相同的单调性，所以f（）==，所以，即m．p，q均为真命题时m的范围是
．点评：本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数的单调性、反函数、分式不等式的解法、命题的真假判断等知识，考查分析问题解决问题的能力．
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