题目内容
如图，在空间直角坐标系O-xyz中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为
，点M，N分别在PA，BD上，且
．
（1）求证：MN⊥AD；
（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．
（1）详见解析，（2）
解析试题分析：（1）首先表示正四棱锥各点坐标，再准确把垂直关系的判定转化为对应向量数量积为零，利用坐标形式进行计算，（2）直线与平面所成的角的计算，关键仍是平面的法向量的计算.利用向量垂直列出方程组，可解出法向量；再利用数量积，根据法向量与直线方向向量的余弦值的绝对值求直线与平面所成角的正弦值. 由于直线与平面所成角与法向量与直线方向向量的夹角不是相等或互补关系，而是互余或相差
因此直线与平面所成角的正弦值等于法向量与直线方向向量的余弦值的绝对值，这是本题易错点.
试题解析：（1）因为正四棱锥
的侧棱长与底边长都为.
2分
则
则
4分
5分
（2）设平面
的法向量为
由
得
取
得
7分
则
9分
设
与平面所成角为
则
所以与平面所成角的正弦值为 10分
考点：向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角.
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中，
为
的中点.
∥
；
的体积.
垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分别为PC,PB的中点.
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图2所示),连结
、
、
,其中
.
平面
；
所成角的正弦值.
中，四边形
为菱形，
，四边形
为矩形，若
，
，
.
面
；
的余弦值；
中，已知
是棱
的中点．
平面
，
∥平面
；
，M是线段B1D1的中点．