题目内容

设F₁、F₂分别是椭圆 $数学公式$ 的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求 $数学公式$ • $数学公式$ 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围．

解：（Ⅰ）椭圆 $\text{[math]}$ 中，a=2，b=1，c= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设p（x，y），则 $\text{[math]}$ -x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时， $\text{[math]}$ 有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时， $\text{[math]}$ 有最大值1．
（Ⅱ）∵直线x=0不满足题设条件，
∴设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立 $\text{[math]}$ ，消去y，得 $\text{[math]}$ ，
∵过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，
∴ $\text{[math]}$ =4k²-3＞0，
解得k＞ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）椭圆 $\text{[math]}$ 中，a=2，b=1，c= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设p（x，y），则 $\text{[math]}$ -x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最大值和最小值．
（Ⅱ）设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ =4k²-3＞0，能求出直线l的斜率k的取值范围．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，具体涉及到椭圆的简单性质、韦达定理、根与系数的关系等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．