题目内容
设函数f(x，y)=(1+| m |
| y |
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若f(4，y)=a0+
| a1 |
| y |
| a2 |
| y2 |
| a3 |
| y3 |
| a4 |
| y4 |
| 4 |
 |
| i=0 |
（3）设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）=mnf（n，t），求证：f(2010，1000
| t |
分析：（1）利用二项展开式的二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大
（2）利用二项展开式的通项公式求出a3列出方程解得m，通过对y赋值1求出展开式的各项系数和
（3）利用已知等式求出m，t的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边＞3，将m，t的关系代入右边得证．
（2）利用二项展开式的通项公式求出a3列出方程解得m，通过对y赋值1求出展开式的各项系数和
（3）利用已知等式求出m，t的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边＞3，将m，t的关系代入右边得证．
解答：解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项=
(
)3=
；
（2）f(4，y)=a0+
+
+
+
=(1+
)4，
a3=C43m3=32?m=2，
ai=(1+
)4=81；
（3）由f（n，1）=mnf（n，t）可得(1+m)n=mn(1+
)n=(m+
)n，
即1+m=m+
?m=
?f(2010，1000
)=(1+
)2010=(1+
)2010＞1+
+
(
)2+
(
)3+
(
)4＞1+2+2+
+
=7＞1+2=3
而f(-2010，t)=(1+
)-2010=(1+
)-2010＜1，
所以f(2010，1000
)＞3f(-2010，t)原不等式成立．
| C | 3 6 |
| 3 |
| y |
| 540 |
| y3 |
（2）f(4，y)=a0+
| a1 |
| y |
| a2 |
| y2 |
| a3 |
| y3 |
| a4 |
| y4 |
| m |
| y |
a3=C43m3=32?m=2，
| 4 |
|
| i=0 |
| 2 |
| 1 |
（3）由f（n，1）=mnf（n，t）可得(1+m)n=mn(1+
| m |
| t |
| m2 |
| t |
即1+m=m+
| m2 |
| t |
| t |
| t |
| m | ||
1000
|
| 1 |
| 1000 |
| C | 1 2010 |
| 1 |
| 1000 |
| C | 2 2010 |
| 1 |
| 1000 |
| C | 3 2010 |
| 1 |
| 1000 |
| C | 4 2010 |
| 1 |
| 1000 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
而f(-2010，t)=(1+
| m |
| t |
| 1 | ||
|
所以f(2010，1000
| t |
点评：本题考查二项展开式的二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法求各项系数和、通过二项式的展开式放缩证不等式．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=| -x2-2x+15 |
| A、[0，3] |
| B、（0，3） |
| C、（-5，0]∪[3，4） |
| D、[-5，0）∪（3，4] |
