Question

设f（x）=

x

a(x+2)

，方程f （x）=x有唯一解，数列{x_n}满足f （x₁）=1，x_n+1=f （x_n）（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²-

2an

an+2

（n∈N^*），求证：对一切n≥2的正整数都满足

3

4

＜

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

＜2．

Answer 1

（1）由f（x）=x得ax²+（2a-1）x=0（a≠0）
∴当且仅当a=

1

2

时，f（x）=x有唯一解x=0，
∴f(x)=

2x

x+2

当f（x₁）=

2x1

2+x1

=1得x₁=2，由x_n+1=f （x_n）=

2xn

xn+2

可得

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

∴数列{

1

xn

}是首项为

1

x1

=

1

2

，公差为

1

2

的等差数列
∴

1

xn

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
∴xn=

2

n

（2）∵a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²•

2an

2+an

=

(2+an)an

2

　又a1=

1

2

∴

1

an+1

=

2

an(2+an)

=

1

an

-

1

an+2

　且a_n＞0，
∴

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

即

1

nxn

=

1

an

-

1

an+1

当n≥2时，

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

≥

1

2+ 1 2

+

1

2+ 5 8

=

82

105

＞

3

4

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

＜2
∴对一切n≥2的正整数都满足

3

4

＜

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

＜2．