题目内容
给出两条直线l1和l2,斜率存在且不为0,如果满足斜率互为相反数,且在y轴上的截距相等,那么直线l1和l2叫做“孪生直线”.(1)现在给出4条直线的参数方程如下:
l1:
(t为参数);
l2:
(t为参数);
l3:
(t为参数);
l4:
(t为参数).
其中构成“孪生直线”的是__________________.
(2)给出由参数方程表示的直线l1:
(t为参数),直线l2:
(t为参数),
那么,根据定义,直线l1、直线l2构成“孪生直线”的条件是_______________.
思路解析：根据条件,两条直线构成“孪生直线”意味着它的斜率存在不为0,互为相反数,且在y轴的截距相等,也就是在y轴上交于同一点.对于题(1),首先可以判断出其斜率分别为-1,1,-1,1,斜率互为相反数条件很明显,再判断在y轴上的截距.令x=0得出相应的t值,代入y可得只有直线l1和直线l4在y轴上的截距相等,而其斜率又恰好相反,可以构成“孪生直线”.对于题(2)首先写出相应斜率分别是tanα1和tanα2,因此要tanα1=-tanα2,即tanα1+tanα2=0；然后再考虑在y轴上的截距,首先在l1的参数方程中,令x=x1+tcosα1=0,可得t=,代入得y=y1-x1tanα1.同理可得直线l2在y轴上的截距是y=y2-x2tanα2.由定义中的条件“截距相等”可得y1-x1tanα1=y2-x2tanα2,即y1-y2=x1tanα1-x2tanα2.
如果把tanα1=-tanα2代入式子还可以进一步得到y1-y2=x1tanα1+x2tanα1,即y1-y2=(x1+x2)tanα1.
答案：（1）直线l1和直线l4
（2）tanα1+tanα2=0且y1-y2=x1tanα1-x2tanα2〔也可以写出y1-y2=(x1+x2)tanα1〕.
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