Question

若有穷数列{a_n} 满足条件a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i=1，2，…，n），则称数列{a_n} 为“对称数列”．例如，数列1，2，3，2，1与数列4，2，1，1，2，4都是“对称数列”．
（Ⅰ）设{b_n}是21项的“对称数列”，其中b₁，b₂，…，b₁₁是等比数列，且b₂=2，b₅=16，求{b_n}的所有项的和S；
（Ⅱ）设{c_n}是22项的“对称数列”，其中c₁₂，c₁₃，…，c₂₂是首项为22，公差为-2的等差数列，求{c_n}的前n项和T_n（1≤n≤22，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）求出前11项构成的等比数列的公比，利用等比数列的前n项和公式求出前11项的和乘以2再减去第11项即得到{b_n}的所有项的和S．
（II）对n分段讨论，当1≤n≤11时以22为第11项，公差为2的等差数列，利用等差数列的前n项和求出{c_n}的前n项和T_n，当12≤n≤22时，利用等差数列的前n项和求出前11项的和再加上以首项为22，公差为-2前n-11项的和

解答：解：（Ⅰ）设数列b_n的公比为q，则b₅=b₂q³=2q³=16，解得q=2，
S=b₁+b₂+..+b₂₁=2（b₁+b₂++b₁₁）-b₁₁=2（1+2+2²++2¹⁰）-2¹⁰=2（2¹¹-1）-2¹⁰=3070．（6分）
（Ⅱ）∵数列c_n是“对称数列”，其中c₁₂，c₁₃，，c₂₂是首项为22，公差为-2的等差数列，
∴c₂₂=22-2×10=2，∴c₁，c₂，，c₁₁是首项为2，公差为2的等差数列．
当1≤n≤11时，T_n=c₁+c₂+…+c_n=2n+

n(n-1)

2

•2=n2+n，
当12≤n≤22时，T_n=c₁+c₂+..+c_n=T₁₁+（c₁₂+c₁₃++c_n）=132+22•(n-11)+

(n-11)(n-12)

2

×(-2)=-n²+45n-242，
综上所述，Tn=

n2+n，1≤n≤11.    -n2+45n-242，12≤n≤22

（13分）

点评：求数列的前n项和关键是求出数列的通项，据数列通项的特点选择合适的求和方法．