Question

若有穷数列{a_n}满足：（1）首项a₁=1，末项a_m=k；（2）a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，（n=1，2，…，m-1），则称数列{a_n}为k的m阶数列．
（Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}是各项为自然数的递增数列，若k=2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N)，且l≥2，求m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据数列{a_n}为k的m阶数列的定义可得一个10的6阶数列为：1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．
（Ⅱ）由已知在数列{a_n}中 a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，当a_n为偶数时，只需 a_n-1=

an

2

（a_n≥2）．当a_m为奇数时，必然有 a_n-1=a_n-1，（a_n≥2），a_n-1是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．由此可得 m=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_l-b_l-1）+（l-1）+1=b_l+l．

解答：解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．          …（2分）
（Ⅱ）由已知在数列{a_n}中 a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，
当a_n为偶数时，a_n-1=

an

2

（a_n≥2），或 a_n-1=a_n-1．
因为

an

2

≤a_n-1 （a_n≥2），所以在数列{a_n}中 1≤a_i≤

an

2

中i的个数不多于 1≤a_j≤a_n-1 中j的个数，
当要使项数m最小，只需 a_n-1=

an

2

（a_n≥2）．                     …（5分）
当a_m为奇数时，必然有 a_n-1=a_n-1，（a_n≥2），a_n-1是偶数，可继续重复上面的操作．
所以要使项数m最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1．
因为a_n=k=2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N)，且 0≤b₁＜b₂＜b₃＜…＜b_l，
只需除以2b1，得到 1+2b2-b1+2b3-b1+…+2bl-b1 为奇数；
减1，得到 2b2-b1+2b3-b1+…+2bl-b1 为偶数，
再除以 2b2-b1，得到 1+2b3-b2+2b4-b2+…+2bl-b2 为奇数；
再减1，得到  2b3-b2+2b4-b2+…+2bl-b2 为偶数，
…
最后得到 2bl-bl-1为偶数，除以2bl-bl-1，得到1，即为a₁．
所以 m=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_l-b_l-1）+（l-1）+1=b_l+l．  …（13分）

点评：本题主要考查数列的函数特性，k的m阶数列的定义，属于难题．