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精英家教网设多面体ABCDEF,已知AB∥CD∥EF,平面ABCD⊥平面ADF,其中ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形,设G为BC的中点,若∠ADC=120°,AD=AB=2,CD=4,EF=3.
(1)求证:EG∥平面ADF.(2)求二面角B-DE-G的余弦值.
分析:(I)如图所示:易知EFHG为平行四边形,从而有EG∥FH,根据线面平行的判定定理可得结论.
(II):易知FH⊥平面ABCD,又ABD为正三角形,则HB⊥AD,可以H为原点可建立空间坐标系,先求得相关点的坐标,再求得相关平面的法向量,最后利用夹角公式求解.
解答:解:(I)证明:如图,设H为AD的中点,可得GH=3,则GH=EF,又由公理4可得GH∥EF,则EFHG为平行四边形,(4分)
故EG∥FH,则EG∥平面ADF.(6分)
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(II):由上可知FH⊥平面ABCD,又ABD为正三角形,则HB⊥AD,故以H为原点可建立空间坐标系(如图),(7分)
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可得B(0,
3
,0),C(-3,2
3
,0),D(-1,0,0),G(-
3
2
3
3
2
,0),E(-
3
2
3
3
2
,1)

DB
=(1,
3
,0),
BE
=(-
3
2
3
2
,1)
DG
=(-
1
2
3
3
2
,0)
(10分)
设平面BDE的法向量为
n1
=(1,y,z)

则由
n
1
DB
=0,
n1
BE
=0

n
1
=(1,-
3
3
,2)
,(12分)
设平面DEG的法向量为
n2
=(1,y,0)
,由
n
2
DG
=0
n
2
=(1,
3
9
,0)

则二面角B-DE-G的余弦值为cos<
n1
n2
>=
7
7
点评:本题主要考查线面平行的判断定定理,以及空间直角坐标法求二面角问题,用向量法求线线角,线面角和面面角很方便,要熟练掌握.
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