Question

设多面体ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，其中ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形，设G为BC的中点，若∠ADC=120°，AD=AB=2，CD=4，EF=3．
（1）求证：EG∥平面ADF．（2）求二面角B-DE-G的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如图所示：易知EFHG为平行四边形，从而有EG∥FH，根据线面平行的判定定理可得结论．
（II）：易知FH⊥平面ABCD，又ABD为正三角形，则HB⊥AD，可以H为原点可建立空间坐标系，先求得相关点的坐标，再求得相关平面的法向量，最后利用夹角公式求解．

解答：解：（I）证明：如图，设H为AD的中点，可得GH=3，则GH=EF，又由公理4可得GH∥EF，则EFHG为平行四边形，（4分）
故EG∥FH，则EG∥平面ADF．（6分）

（II）：由上可知FH⊥平面ABCD，又ABD为正三角形，则HB⊥AD，故以H为原点可建立空间坐标系（如图），（7分）

可得B(0，

3

，0)，C(-3，2

3

，0)，D(-1，0，0)，G(-

3

2

，

3 3

2

，0)，E(-

3

2

，

3 3

2

，1)，
则

DB

=(1，

3

，0)，

BE

=(-

3

2

，

3

2

，1)，

DG

=(-

1

2

，

3 3

2

，0)（10分）
设平面BDE的法向量为

n1

=(1，y，z)，
则由

n

1•

DB

=0，

n1

•

BE

=0
得

n

1=(1，-

3

3

，2)，（12分）
设平面DEG的法向量为

n2

=(1，y，0)，由

n

2•

DG

=0得

n

2=(1，

3

9

，0)，
则二面角B-DE-G的余弦值为cos＜

n1

，

n2

＞=

7

7

点评：本题主要考查线面平行的判断定定理，以及空间直角坐标法求二面角问题，用向量法求线线角，线面角和面面角很方便，要熟练掌握．