题目内容

(1)求证:EG∥平面ADF.(2)求二面角B-DE-G的余弦值.
分析:(I)如图所示:易知EFHG为平行四边形,从而有EG∥FH,根据线面平行的判定定理可得结论.
(II):易知FH⊥平面ABCD,又ABD为正三角形,则HB⊥AD,可以H为原点可建立空间坐标系,先求得相关点的坐标,再求得相关平面的法向量,最后利用夹角公式求解.
(II):易知FH⊥平面ABCD,又ABD为正三角形,则HB⊥AD,可以H为原点可建立空间坐标系,先求得相关点的坐标,再求得相关平面的法向量,最后利用夹角公式求解.
解答:解:(I)证明:如图,设H为AD的中点,可得GH=3,则GH=EF,又由公理4可得GH∥EF,则EFHG为平行四边形,(4分)
故EG∥FH,则EG∥平面ADF.(6分)

(II):由上可知FH⊥平面ABCD,又ABD为正三角形,则HB⊥AD,故以H为原点可建立空间坐标系(如图),(7分)

可得B(0,
,0),C(-3,2
,0),D(-1,0,0),G(-
,
,0),E(-
,
,1),
则
=(1,
,0),
=(-
,
,1),
=(-
,
,0)(10分)
设平面BDE的法向量为
=(1,y,z),
则由
1•
=0,
•
=0
得
1=(1,-
,2),(12分)
设平面DEG的法向量为
=(1,y,0),由
2•
=0得
2=(1,
,0),
则二面角B-DE-G的余弦值为cos<
,
>=
故EG∥FH,则EG∥平面ADF.(6分)

(II):由上可知FH⊥平面ABCD,又ABD为正三角形,则HB⊥AD,故以H为原点可建立空间坐标系(如图),(7分)

可得B(0,
3 |
3 |
3 |
2 |
3
| ||
2 |
3 |
2 |
3
| ||
2 |
则
DB |
3 |
BE |
3 |
2 |
| ||
2 |
DG |
1 |
2 |
3
| ||
2 |
设平面BDE的法向量为
n1 |
则由
n |
DB |
n1 |
BE |
得
n |
| ||
3 |
设平面DEG的法向量为
n2 |
n |
DG |
n |
| ||
9 |
则二面角B-DE-G的余弦值为cos<
n1 |
n2 |
| ||
7 |
点评:本题主要考查线面平行的判断定定理,以及空间直角坐标法求二面角问题,用向量法求线线角,线面角和面面角很方便,要熟练掌握.

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