Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
求矩阵A=

2，1 3，0

的特征值及对应的特征向量．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程：

x=t y=1+2t

（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）判断直线l和圆C的位置关系．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．

Answer 1

分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）（Ⅰ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．
（3）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），且a≠0，得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）则可以求出左式的最小值，使得f（x）小于等于最小值即可，从而得到解不等式|x-1|+|x-2|≤2即得．

解答：解：（1）设A的一个特征值为λ，由题意知：

.

λ-2  -1 -3   λ

.

=0，
所以（λ-2）λ-3=0，即λ₁=-1，λ₂=3．（3分）
将λ₁=-1代入特征方程组，得

-3x-y=0 -3x-y=0

⇒3x+y=0．
可取

1 -3

为属于特征值λ₁=-1的一个特征向量．
将λ₂=3代入特征方程组，得

x-y=0 -3x+3y=0

⇒x-y=0．
可取

1 1

为属于特征值λ₂=3的一个特征向量．
（2）（Ⅰ）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1（3分）
ρ=2

2

sin(θ+

π

4

），即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐标方程为（x-1）²+（x-1）²=2（5分）
（Ⅱ）圆心C到直线l的距离d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，所以直线l和⊙C相交（7分）
（3）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），且a≠0，得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）（3分）
又因为

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，则有2≥f（x）（5分）
解不等式|x-1|+|x-2|≤2，得

1

2

≤x≤

5

2

（7分）

点评：本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算、简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，带绝对值的函数等基础知识，属于基础题．