Question

已知函数f(x) =2x+1，x∈R.规定：给定一个实数x0，赋值x1= f(x0)，若x1≤255，则继续赋值x2=" f(x1)" …，以此类推，若x n-1≤255，则xn= f(xn-1)，否则停止赋值，如果得到xn后停止，则称赋值了n次（n∈N *）.已知赋值k次后该过程停止，则x0的取值范围是

1. A.
   （2k-9 ,2 k-8]
2. B.
   （2 k-8 -1, 2k-9-1]
3. C.
   （28-k -1, 29-k-1]
4. D.
   （27-k -1, 28-k-1]

Answer 1

C
提示1：由题意，可先解出x₁，x₂，x₃，从中发现规律，猜想出x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀=2^kx₀-2^k+1，再由题设条件x_n-1≤257，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，可得到2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，解此二不等式即可得到x₀的取值范围选出正确选项．
提示2：本题考查归纳推理，等比数列的求和公式，解题的特点是先列举几个特殊例子找出规律，从而利用规律得出结论，解答本题，理解赋值终止的条件是关键
解：由题意x₁=f（x₀）=2x₀-1；
x₂=f（x₁）=2x₁-1=2（2x₀-1）-1=2²x₀-2-1；
x₃=f（x₂）=2x₂-1=2（2²x₀-2-1）-1=2³x₀-2²-2-1；
…，
x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀-=2^kx₀-2^k+1；
令2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，
解得2^8-k+1＜x₀≤2^9-k+1
故x₀的取值范围是（2^8-k+1，2^9-k+1]
故选C