Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，能否在y轴左侧的椭圆上找到一点M，使点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项？若M存在，求出它的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

设存在符合题意的点M，其坐标为（m，n）（m＜0）
由椭圆的方程，可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1，
于是椭圆两个焦点的坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）
且左准线l的方程为：x=

a2

c

，即x=-4，可得|MN|=m+4，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a=4
∴由|MN|是|MF₁|和|MF₂|的等差中项，得2|MN|=|MF₁|+|MF₂|=4，解之得|MN|=2，
∵|MN|=m+4，∴m+4=2，解之得m=-2，代入椭圆方程得n=0
因此，存在点椭圆上点M的坐标为（-2，0），满足点M到左准线l的距离|MN|为点M到两焦点的距离的等差中项．