题目内容
函数f(x)=3sin
x-log2x-
的零点个数为( )
π |
2 |
1 |
2 |
分析:将条件变为:3sin
x=lo
+
,设h(x)=3sin
x和g(x)=lo
+
,在同一坐标系内作出g(x)和h(x)的图象,讨论h(x)、g(x)的单调性与最值,得它们有且仅有3个交点,由此可得原函数零点的个数.
π |
2 |
g | x 2 |
1 |
2 |
π |
2 |
g | x 2 |
1 |
2 |
解答:解:由f(x)=3sin
x-lo
-
=0得,3sin
x=lo
+
,
设h(x)=3sin
x,g(x)=lo
+
,
则所求的函数的零点个数转化为:函数h(x)和g(x)图象的交点个数,
在同一坐标系内作出g(x)和h(x)的图象:
函数g(x)的图象是y=log2x的图象向上平移
单位,所以图象为经过点(
,0),
而h(x)=3sin
x的周期为4,在原点的右侧它的第一个最大值点为x=1,对应图中A(1,3),第二个最大值点为x=5,对应图中B(5,3),
∵log25<3,
∴曲线g(x)=log2x经过点B的下方,在B的左右各有一个交点
当x≤8时,log2x≤3,两个函数图象有3个交点;
而当x>8时,h(x)=3sin
x≤3<g(x)=log2x-
,两图象不可能有交点
∴h(x)=3sin
x与g(x)=log2x-
的图象有且仅有3个不同的交点,
得函数f(x)=3sin
x-lo
-
的零点有3个
故选B.
π |
2 |
g | x 2 |
1 |
2 |
π |
2 |
g | x 2 |
1 |
2 |
设h(x)=3sin
π |
2 |
g | x 2 |
1 |
2 |
则所求的函数的零点个数转化为:函数h(x)和g(x)图象的交点个数,
在同一坐标系内作出g(x)和h(x)的图象:
函数g(x)的图象是y=log2x的图象向上平移
1 |
2 |
| ||
2 |
而h(x)=3sin
π |
2 |
∵log25<3,
∴曲线g(x)=log2x经过点B的下方,在B的左右各有一个交点
当x≤8时,log2x≤3,两个函数图象有3个交点;
而当x>8时,h(x)=3sin
π |
2 |
1 |
2 |
∴h(x)=3sin
π |
2 |
1 |
2 |
得函数f(x)=3sin
π |
2 |
g | x 2 |
1 |
2 |
故选B.
点评:本题给出含有三角函数和对数的函数,求函数的零点的个数转化为两个函数图象的交点个数问题,考查了基本初等函数的单调性、最值,数形结合思想,关键是正确作图.
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