题目内容

函数f(x)=3sin
π
2
x-log2x-
1
2
的零点个数为(  )
分析:将条件变为:3sin
π
2
x=lo
g
x
2
+
1
2
,设h(x)=3sin
π
2
x
和g(x)=lo
g
x
2
+
1
2
,在同一坐标系内作出g(x)和h(x)的图象,讨论h(x)、g(x)的单调性与最值,得它们有且仅有3个交点,由此可得原函数零点的个数.
解答:解:由f(x)=3sin
π
2
x-lo
g
x
2
-
1
2
=0得,3sin
π
2
x=lo
g
x
2
+
1
2

设h(x)=3sin
π
2
x
,g(x)=lo
g
x
2
+
1
2

则所求的函数的零点个数转化为:函数h(x)和g(x)图象的交点个数,
在同一坐标系内作出g(x)和h(x)的图象:
函数g(x)的图象是y=log2x的图象向上平移
1
2
单位,所以图象为经过点(
2
2
,0),
而h(x)=3sin
π
2
x
的周期为4,在原点的右侧它的第一个最大值点为x=1,对应图中A(1,3),第二个最大值点为x=5,对应图中B(5,3),
∵log25<3,
∴曲线g(x)=log2x经过点B的下方,在B的左右各有一个交点
当x≤8时,log2x≤3,两个函数图象有3个交点;
而当x>8时,h(x)=3sin
π
2
x
≤3<g(x)=log2x-
1
2
,两图象不可能有交点
∴h(x)=3sin
π
2
x
与g(x)=log2x-
1
2
的图象有且仅有3个不同的交点,
得函数f(x)=3sin
π
2
x-lo
g
x
2
-
1
2
的零点有3个
故选B.
点评:本题给出含有三角函数和对数的函数,求函数的零点的个数转化为两个函数图象的交点个数问题,考查了基本初等函数的单调性、最值,数形结合思想,关键是正确作图.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网