Question

10．若直线x+2y-2=0与椭圆mx²+ny²=1交于点C，D，点M为CD的中点，直线OM（O为原点）的斜率为$\frac{1}{2}$，且OC⊥OD，则m+n=$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立可得（4m+n）x²-4nx+4n-4=0．OC⊥OD，可得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=0，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为（4m+n）x²-4nx+4n-4=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4n}{4m+n}$=2x₀，x₁x₂=$\frac{4n-4}{4m+n}$．
∵OC⊥OD，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}（2-{x}_{1}）（2-{x}_{2}）$=0，
化为5x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0．
∴$\frac{20（n-1）}{4m+n}$-$\frac{8n}{4m+n}$+4=0，
化为：m+n=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．