题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设
，满足
.
（i）试证
的值为定值，并求出此定值；
（ii）试求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）(i)
为定值0；(ii)最大值为4．
【解析】
试题（Ⅰ）利用待定系数法进行求解；（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，整理成关于
的一元二次方程，利用
得出定值；利用弦长公式求弦长，即三角形的底边，再利用点到直线的距离公式求其高，进而得出面积，理基本不等式求其最值.
试题解析：（Ⅰ）由题意
，
，又
，
解得
,
椭圆的标准方程为.
（Ⅱ） (i) 直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0）时不满足
设直线AB的方程为
，设
联立
，得
(*)
整理得
所以为定值0.
(ii) 由(i),不妨取
,则
设原点到直线AB的距离为d，则
当
时(满足(*)式)取等号.
.
即四边形ABCD的面积的最大值为4.
【题目】2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．
某读书APP抽样调查了非一线城市M和一线城市N各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．
（1）请填写以下
列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？
活跃用户 | 不活跃用户 | 合计 | |
城市M | |||
城市N | |||
合计 |
（2）以频率估计概率，从城市M中任选2名用户，从城市N中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为
，求的分布列和数学期望．
（3）该读书APP还统计了2018年4个季度的用户使用时长y（单位：百万小时），发现y与季度（
）线性相关，得到回归直线为
，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（
）该读书APP用户使用时长约为多少百万小时．
附：
，其中
．
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
