Question

已知数列{b_n}中，，，数列{a_n}满足：．
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（4）求证：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，求得，从而；
（2）将代入得到：即可证得：a_n+1+2a_n+1=0；
（3）由（2）所得结论变形得到：从而得出数列是以-2为首项，公比为-2的等比数列，最后利用等比数列的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；
（4）由（3）得出数列{a_n}的通项公式写出数列bn，下面对n进行奇偶数讨论：①当n为偶数时②当n为奇数时，分别利用等比数列的前n项结合不等式的放缩即可得到证明．
解答：解：（1）∵∴∴…（3分）
（2）证明：∵∴a_n+1+2a_n+1=0…（5分）
（3）∵a_n+1=-2a_n-1∴…（6分）
又 ∴数列是以-2为首项，公比为-2的等比数列…（7分）
∴∴…（8分）
（4）∴
当n为奇数时（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1==，
①当n为偶数时，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n，
②当n为奇数时，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n=…（11分）
综上所述：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1…（12分）
点评：本小题主要考查数列递推式、数列与不等式的综合、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．