题目内容

已知椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,长轴是短轴的2倍,且椭圆E过点(
2
2
2
)
;斜率为k(k>0)的直线l过点A(0,2),
n
为直线l的一个法向量,坐标平面上的点B满足条件|
n
AB
|=|
n
|

(1)写出椭圆E方程,并求点B到直线l的距离;
(2)若椭圆E上恰好存在3个这样的点B,求k的值.
分析:(1)首先由长轴是短轴的2倍得a、b的一个方程,然后根据椭圆E过点(
2
2
2
)得a、b的另一个方程,则解方程组求得a、b,进而求得椭圆E的方程;由直线l过点A(0,2),且斜率为k(k>0),设其斜截式为y=kx+2,然后取该直线的一个法向量(k,-1),再设点B的坐标为B(x0,y0),则根据|
n
AB
|=|
n
|得k、x0、y0间关系式,而点B(x0,y0)到直线y=kx+2的距离
|kx0-y0+2|
1+k2
恰好由前面k、x0、y0间的关系式变形可得,则问题解决.
(2)由(1)知,椭圆E上恰好存在3个这样的点B,表示与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点,则其中一条必与椭圆E相切,把它作为问题的切入点,则由该直线方程y=kx+t与椭≥圆方程
x2
4
y2 =1
联立方程组,根据△=0可求得k、t的一个关系式,再由两平行线间距离公式得k、t的另一个关系式,则解方程组求得k、t,最后注意检验把不符号要求的答案舍去.
解答:解:(1)由题意得
a=2b
2
a2
+
1
2
b2
=1
解得a2=4,b2=1,
∴椭圆E方程为:
x2
4
+y2=1

直线l的方程为y=kx+2,其一个法向量
n
=(k,-1)
,设点B的坐标为B(x0,y0),由
AB
=(x0y0-2)
|
n
AB
|=|
n
|
|kx0-y0+2|=
1+k2

∴B(x0,y0)到直线y=kx+2的距离为d=
|kx0-y0+2|
1+k2
=1

(2)由(1)知,点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点,即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点.
设与直线l平行的直线方程为y=kx+t
y=kx+t
x2
4
+y2=1
得x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0△=64k2t2-4(1+4k2)(4t2-4)=16(1+4k2-t2)①
当△=0时,k2=
t2-1
4

又由两平行线间的距离为1,可得
|t-2|
1+k2
=1

把②代入③得(t-2)2=1+
t2-1
4
,即3t2-16t+13=0,(3t-13)(t-1)=0
解得t=1,或t=
13
3

当t=1时,代入②得k=0,与已知k>0不符,不合题意;
t=
13
3
时,代入②得k=
2
10
3
,代回③得t=
13
3
t=
1
3

k=
2
10
3
t=
1
3
时,由①知△>0
此时两平行线y=
2
10
3
x+
13
3
y=
2
10
3
x+
1
3
,与椭圆E有三个交点,
k=
2
10
3
点评:本题考查椭圆的标准方程及点到线的距离公式,同时综合考查直线与椭圆的位置关系问题.
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