题目内容
已知椭圆E的方程为x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
| ||
2 |
n |
n |
AB |
n |
(1)写出椭圆E方程,并求点B到直线l的距离;
(2)若椭圆E上恰好存在3个这样的点B,求k的值.
分析:(1)首先由长轴是短轴的2倍得a、b的一个方程,然后根据椭圆E过点(
,
)得a、b的另一个方程,则解方程组求得a、b,进而求得椭圆E的方程;由直线l过点A(0,2),且斜率为k(k>0),设其斜截式为y=kx+2,然后取该直线的一个法向量(k,-1),再设点B的坐标为B(x0,y0),则根据|
•
|=|
|得k、x0、y0间关系式,而点B(x0,y0)到直线y=kx+2的距离
恰好由前面k、x0、y0间的关系式变形可得,则问题解决.
(2)由(1)知,椭圆E上恰好存在3个这样的点B,表示与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点,则其中一条必与椭圆E相切,把它作为问题的切入点,则由该直线方程y=kx+t与椭≥圆方程
+ y2 =1联立方程组,根据△=0可求得k、t的一个关系式,再由两平行线间距离公式得k、t的另一个关系式,则解方程组求得k、t,最后注意检验把不符号要求的答案舍去.
2 |
| ||
2 |
n |
AB |
n |
|kx0-y0+2| | ||
|
(2)由(1)知,椭圆E上恰好存在3个这样的点B,表示与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点,则其中一条必与椭圆E相切,把它作为问题的切入点,则由该直线方程y=kx+t与椭≥圆方程
x2 |
4 |
解答:解:(1)由题意得
解得a2=4,b2=1,
∴椭圆E方程为:
+y2=1.
直线l的方程为y=kx+2,其一个法向量
=(k,-1),设点B的坐标为B(x0,y0),由
=(x0,y0-2)及|
•
|=|
|得|kx0-y0+2|=
,
∴B(x0,y0)到直线y=kx+2的距离为d=
=1.
(2)由(1)知,点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点,即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点.
设与直线l平行的直线方程为y=kx+t
由
得x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0△=64k2t2-4(1+4k2)(4t2-4)=16(1+4k2-t2)①
当△=0时,k2=
②
又由两平行线间的距离为1,可得
=1③
把②代入③得(t-2)2=1+
,即3t2-16t+13=0,(3t-13)(t-1)=0
解得t=1,或t=
当t=1时,代入②得k=0,与已知k>0不符,不合题意;
当t=
时,代入②得k=
,代回③得t=
或t=
当k=
,t=
时,由①知△>0
此时两平行线y=
x+
和y=
x+
,与椭圆E有三个交点,
∴k=
.
|
∴椭圆E方程为:
x2 |
4 |
直线l的方程为y=kx+2,其一个法向量
n |
AB |
n |
AB |
n |
1+k2 |
∴B(x0,y0)到直线y=kx+2的距离为d=
|kx0-y0+2| | ||
|
(2)由(1)知,点B是椭圆E上到直线l的距离为1的点,即与直线l的距离为1的二条平行线与椭圆E恰好有三个交点.
设与直线l平行的直线方程为y=kx+t
由
|
当△=0时,k2=
t2-1 |
4 |
又由两平行线间的距离为1,可得
|t-2| | ||
|
把②代入③得(t-2)2=1+
t2-1 |
4 |
解得t=1,或t=
13 |
3 |
当t=1时,代入②得k=0,与已知k>0不符,不合题意;
当t=
13 |
3 |
2
| ||
3 |
13 |
3 |
1 |
3 |
当k=
2
| ||
3 |
1 |
3 |
此时两平行线y=
2
| ||
3 |
13 |
3 |
2
| ||
3 |
1 |
3 |
∴k=
2
| ||
3 |
点评:本题考查椭圆的标准方程及点到线的距离公式,同时综合考查直线与椭圆的位置关系问题.

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