题目内容
已知函数
(1)求M;
(2)当x∈M时,求f(x)=a•2x+2+3•4x(a>-3)的最小值.
【答案】分析:(1)由题意列出不等式组
,求出解集再用区间表示;
(2)用配方法对解析式变形,设t=2x由(1)的结果求出t的范围,则原函数变成关于t的二次函数,再根据对称轴和t的范围进行分类,由二次函数的性质求出对应的最小值.
解答:解:(1)由题意得,
,
,解得-1≤x<1
∴函数的定义域M=[-1,1).
(2)f(x)=a•2x+2+3•4x)=4a•2x+3•22x=3
-
a2,
由(1)知,x∈[-1,1),设t=2x,则t∈[
,2),
函数变为g(t)=3
-
a2,又∵a>-3,∴
,
①若
≤
时,即a≥-
,函数g(t)在[
,2)上时增函数,
∴f(x)的最小值是g(
)=3
-
a2=2a+
,
②若
<
<2时,即-3<a<-
,当t=
时,f(x)取到最小值是-
a2.
综上,当a≥-
时,f(x)的最小值是2a+
;当-3<a<-
,f(x)的最小值是-
a2.
点评:本题是一道综合题,考查了求函数的定义域和最值,用了对数函数、指数函数和二次函数的性质,利用换元法对函数解析式进行转化后再求函数的最值,注意换元后的定义域和对称轴的位置.

(2)用配方法对解析式变形,设t=2x由(1)的结果求出t的范围,则原函数变成关于t的二次函数,再根据对称轴和t的范围进行分类,由二次函数的性质求出对应的最小值.
解答:解:(1)由题意得,


∴函数的定义域M=[-1,1).
(2)f(x)=a•2x+2+3•4x)=4a•2x+3•22x=3


由(1)知,x∈[-1,1),设t=2x,则t∈[

函数变为g(t)=3



①若




∴f(x)的最小值是g(




②若





综上,当a≥-




点评:本题是一道综合题,考查了求函数的定义域和最值,用了对数函数、指数函数和二次函数的性质,利用换元法对函数解析式进行转化后再求函数的最值,注意换元后的定义域和对称轴的位置.

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