Question

正实数数列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差数列。
 （I）证明数列{a_n}中有无穷多项为无理数；
 （Ⅱ）当n为何值时，a_n为整数，并求出使a_n<200的所有整数项的和。

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知有a_n²=1+24（n-1），从而a_n=
取，则
用反证法证明这些a_n都是无理数
假设为有理数，则a_n必为正整数，且
故
与矛盾
所以都是无理数
即数列{a_n}中有无穷多项为无理数；
（Ⅱ）要使a_n为整数，由（a_n-1）（a_n+1）=24（n-1）可知a_n-1，a_n+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数
所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m
当a_n=6m+1时，有a_n²=36m²+12m+1=1+12m（3m+1） （m∈N），又m（3m+1）必为偶数，所以a_n=6m+1（m∈N）满足a_n²=1+24（n-1）
即时，a_n为整数
同理a_n=6m-1（m∈N*）有a²_n=36m²-12m+1=1+12m· （3m-1）（m∈N*）
也满足a_n²=1+24（n-1）
即时，a_n为整数
显然a_n=6m-1（m∈N*）和a_n=6m+1（m∈N）是数列中的不同项
所以当和N*）时，a_n为整数
由a_n=6m+1<200（m∈N）有0≤m≤33
由a_n=6m-1<200（m∈N*）有1≤m≤33
设a_n中满足a_n<200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+13+…+199）
6733。