Question

正实数数列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，且{a_n²}成等差数列．
（1）证明数列{a_n}中有无穷多项为无理数；
（2）当n为何值时，a_n为整数，并求出使a_n＜200的所有整数项的和．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₂=5且{a_n²}成等差数列，求出a_n²的通项公式，由通项公式分析出无理数；
（2）由a_n的表达式讨论使a_n＜200的整数项，从而求出所有整数项的和．

解答：（1）证明：由已知有：a_n²=1+24（n-1），从而an=

1+24(n-1)

，
方法一：取n-1=24^2k-1，则an=

1+242k

(k∈N+)
用反证法证明这些a_n都是无理数．
假设an=

1+242k

为有理数，则a_n必为正整数，且a_n＜24^k，
故a_n-24^k≥1．a_n-24^k＞1，与（a_n-24^k）（a_n+24^k）=1矛盾，
所以an=

1+242k

(k∈N+)都是无理数，即数列a_n中有无穷多项为无理数；
（2）要使a_n为整数，由（a_n-1）（a_n+1）=24（n-1）可知：
a_n-1，a_n+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有a_n-1=6m或a_n+1=6m
当a_n=6m+1时，有a_n²=36m²+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）
又m（3m+1）必为偶数，所以a_n=6m+1（m∈N）满足a_n²=1+24（n-1）
即n=

m(3m+1)

2

+1（m∈N）时，a_n为整数；
同理a_n=6m-1（m∈N⁺）有a_n²=36m²-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N⁺）
也满足a_n²=1+24（n-1），即n=

m(3m-1)

2

+1（m∈N⁺）时，a_n为整数；
显然a_n=6m-1（m∈N⁺）和a_n=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；
所以当n=

m(3m+1)

2

+1（m∈N）和n=

m(3m-1)

2

+1（m∈N⁺）时，a_n为整数；
由a_n=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，
由a_n=6m-1＜200（m∈N⁺）有1≤m≤33．
设a_n中满足a_n＜200的所有整数项的和为S，则
S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=

5+197

2

×33+

1+199

2

×34=6733

点评：对一个正整数数能否写成另一个整数的平方的形式，是难点；对整数的奇偶性分析也是难点；故此题是中档题．