Question

下列关于实数x的不等关系中，恒成立的是（　　）

• A、x+

  1

  x

  ≥2
• B、x²+1＞2x
• C、

  x

  +

  1-x

  ≤1
• D、|x-1|-|x+2|≤3

Answer 1

分析：首先对于此类选择题，考虑用排除法求解．对于选项A若x＜0，可得x+

1

x

＜0，对于选项B根据x²+1-2x=（x-1）²≥0，对于选项Cx=

1

2

，则

x

+

1-x

=

2

2

+

2

2

=

2

＞ 1，故错；对于选项D：根据|a-c|+|b-c|≤|a-b|，可得|x-1|-|x+2|≤3成立．

解答：解：对于选项A：若x＜0，则x+

1

x

＜0，故错；
对于选项B：x²+1-2x=（x-1）²≥0，故错；
对于选项C：∵

x

+

1-x

≤1，∴0≤x≤1，令x=

1

2

，则

x

+

1-x

=

2

2

+

2

2

=

2

＞ 1，故错；
对于选项D：根据|a-c|+|b-c|≤|a-b|，∴|x-1|-|x+2|≤3成立．
故选D．

点评：此题主要考查恒成立的问题，其中用到基本不等式．对于判别恒成立问题的题目一般涉及的知识点较多，容易出错属于中档题目．