题目内容
已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a-3，c=
，求△ABC的面积．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a-3，c=
| 6 |
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，表示由利用余弦定理化简即可求求cosC的值；
（Ⅱ）将a，c的值代入第一问化简得到的等式求出b的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
（Ⅱ）将a，c的值代入第一问化简得到的等式求出b的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．
解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得3a2+3b2-3c2=4ab，即a2+b2-c2=
，
整理得：cosC=
=
=
；
（Ⅱ）将a=3，c=
，代入3a2+3b2-3c2=4ab得：27+3b2-18=12b，
解得：b=1或b=3，
∵sinC=
=
，
则S△ABC=
absinC=
=
或
．
| 4ab |
| 3 |
整理得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| ||
| 2ab |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）将a=3，c=
| 6 |
解得：b=1或b=3，
∵sinC=
| 1-cos2C |
| ||
| 3 |
则S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
3
| ||
| 2 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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