题目内容
已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tanA•tanC=2+
，又知顶点C的对边c上的高等于4
，求△ABC的三边a、b、c及三内角．
| 3 |
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分析：先求得B=60°，再由tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，以及tanA•tanC=2+
，求得tanA+tanC的值，从而求得tanA和tanC的值，进而求得A、C的值，由边c上的高等于4
求得a，
再由正弦定理求得b、c的值．
| 3 |
| 3 |
再由正弦定理求得b、c的值．
解答：解：由A、B、C成等差数列，可得B=60°，
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=
（1+
）．
设tanA、tanC是方程x2-（
+3）x+2+
=0的两根，解得x1=1，x2=2+
．
设A＜C，则tanA=1，tanC=2+
，∴A=
，C=
．
∵边c上的高等于4
，∴sinB=
，∴a=8．
由此利用正弦定理求得b=4
，c=4
+4．
由△ABC中tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，得 tanA+tanC=tanB（tanA•tanC-1）=
| 3 |
| 3 |
设tanA、tanC是方程x2-（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设A＜C，则tanA=1，tanC=2+
| 3 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
∵边c上的高等于4
| 3 |
4
| ||
| a |
由此利用正弦定理求得b=4
| 6 |
| 3 |
点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，直角三角形中的边角关系，正弦定理的应用，属于中档题．
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