Question

已知动圆P与定圆B：x²+y²+2x-35=0内切，且动圆经过一定点A（1，0）．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）过点B（圆心）的直线与点P的轨迹交与M，N两点，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）定圆B的圆心为B（-1，0），半径r=6，因为动圆P与定圆B内切，且动圆P过定点A（1，0），所以|PA|+|PB|=6．由此能求出椭圆的方程．
（2）由题意设直线l的方程为my=x+1，与点P的轨迹方程

x2

9

+

y2

8

=1联立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=

16m

8m2+9

，y1y2=-

64

8m2+9

，S△AMN=

1

2

×2c×|y1-y2|=

48 m2+1

8m2+9

，由此能求出△AMN面积的最大值．

解答：解：（1）定圆B的圆心为B（-1，0），半径r=6，
因为动圆P与定圆B内切，且动圆P过定点A（1，0）
所以|PA|+|PB|=6．
所以动圆圆心P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．
∴所求椭圆的方程为

x2

9

+

y2

8

=1．（5分）
（2）由题意设直线l的方程为my=x+1，
与点P的轨迹方程

x2

9

+

y2

8

=1联立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则y1+y2=

16m

8m2+9

，y1y2=-

64

8m2+9

，
∴S△AMN=

1

2

×2c×|y1-y2|=

48 m2+1

8m2+9

，
令

m2+1

=t＞1，则m²=t²-1，
∴S△AMN=

48t

8t2+1

=

48

8t+ 1 t

，
∵8t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，
∴8t+

1

t

≥9(当且仅当t=1时取”=”)，
∴△AMN面积的最大值为

48

9

．

点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积最大值的计算，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．