Question

（2010•唐山一模）已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止．
（I）求检验次数为4的概率；
（II）设检验次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）检验次数为4的情况是前3次在5件正品中取到2件，在2件次品中取到1件，第4次取到次品，由此能求出检验次数为4的概率．
（II）ξ的可能值为2，3，4，5，6，P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 7

=

1

21

，P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 5

C 2 7

•

1

C 1 5

=

2

21

，P（ξ=4）=

1

7

，P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 5

C 4 7

•

1

C 1 3

+

C 5 5

C 5 7

=

5

21

，P(ξ=6)=

C 1 2 C 4 5

C 5 7

=

10

21

．由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．

解答：解：（I）记“在4次检验中，前3次检验中有1次得到次品，第4次检验得到次品”为事件A，则检验次数为4的概率P(A)=

C 1 2 C 2 5

C 3 7

•

1

C 1 4

=

1

7

．…（3分）
（II）ξ的可能值为2，3，4，5，6，其中P（ξ=2）=

C 2 2

C 2 7

=

1

21

，
P（ξ=3）=

C 1 2 C 1 5

C 2 7

•

1

C 1 5

=

2

21

，
P（ξ=4）=

1

7

，
P(ξ=5)=

C 1 2 C 3 5

C 4 7

•

1

C 1 3

+

C 5 5

C 5 7

=

5

21

，P(ξ=6)=

C 1 2 C 4 5

C 5 7

=

10

21

．…（8分）
∴ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6
P	1 21	2 21	1 7	5 21	10 21

…（10分）
ξ的期望Eξ=2×

1

21

+3×

2

21

+4×

3

21

+5×

5

21

+6×

10

21

=

105

21

=5…（12分）

点评：本题考查概率的求法和离散型随机变量的概率分布列和数学期望．解题时要认真审题，注意概率的性质和排列组合数公式的运用．