题目内容

对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实数x,都有x*m=x,试求m的值.

   

提示:由1*2=3,2*3=4,得

   

    ∴b=2+2c,a=-1-6c.

    又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立,

    ∴∴b=0=2+2c.

    ∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.

    ∴-1+6-m=1.∴m=4.

答案:4.

练习册系列答案
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对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值．
已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．
设y=f（x）为定义在区间I上的函数，若对I上任意两个实数x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，则f（x）称为I上的凹函数．
（1）判断f(x)=
3
x
(x＞0)是否为凹函数？
（2）已知函数f2（x）=x|ax-3|（a≠0）为区间[3，6]上的凹函数，请直接写出实数a的取值范围（不要求写出解题过程）；
（3）设定义在R上的函数f3（x）满足对于任意实数x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求证：f3（x）为R上的凹函数．
（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）=
1
3
f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=g[
n
2
f(n)]，求数列{cn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）已知
lim
n
 
∞
2n+3
3n-1
=0，设F（n）=Sn-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立？若存在，分别求出m和M的集合，并求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．
（2006•朝阳区二模）设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f(x+1)=
1
3
f(x)，且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=g[
n
2
f(n)]，求数列{cn}的前n项和Sn．

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