Question

已知函数f(x)=x3-ln(

x2+1

-x)，则对于任意实数a，b（a+b≠0），

f(a)+f(b)

a+b

的值（　　）

Answer 1

分析：利用函数奇偶性的定义，先判断出f（x）是奇函数；再由函数单调性的定义，判断出f（x）在R上是增函数，由此能求出结果．

解答：解：∵函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x），
∴f（-x）=（-x）³-log₃（

(-x)2+1

-(-x)）
=-x³-log₃

1

x2+1 -x

=-x³+log₃（

x2+1

-x）=-f（x）．
∵

x2+1

-x=

1

x2+1 +x

在R上单调减，x³在R上单调增
∴函数f（x）=x³-log₃（

x2+1

-x）是奇函数，且在R上单调增．
不妨设a+b＞0，则a＞-b，
∴f（a）＞f（-b），
∴f（a）+f（b）＞0，
∴

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，解题时要熟练掌握基本概念，合理地进行等价转化．