Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC；
（3）试确定点M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer 1

解：（1）证明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，所以BB₁D₁D是平行四边形，
所以B₁D₁∥BD．
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）证明：因为BB₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC，
又因为BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥面BB₁D，
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．
（3）当点M为棱BB₁的中点时，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D
取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，连接OM．
因为N是DC中点，BD=BC，所以BN⊥DC；又因为DC是面ABCD与面DCC₁D₁的交线，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁．
又可证得，O是NN₁的中点，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC₁D₁D，因为OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．
分析：（1）在平面A₁BD内找到和B₁D₁平行的直线BD即可．利用线线平行来推线面平行．
（2）先利用条件BB₁⊥AC和BD⊥AC证得AC⊥面BB₁D，再证明MD⊥AC即可．
（3）因为棱BB₁上最特殊的点是中点，所以先看中点．取DC的中点N，D₁C₁的中点N₁，连接NN₁交DC₁于O，?BN⊥DC?面ABCD⊥面DCC₁D₁，
?BN⊥面DCC₁D₁．而又可证得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC₁D₁D?平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．
点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．