题目内容

已知函数，且，函数的图象经过点，且与的图象关于直线对称，将函数的图象向左平移2个单位后得到函数的图象．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若在区间上的值不小于8，求实数的取值范围．

（III）若函数满足：对任意的（其中），有，称函数在的图象是“下凸的”．判断此题中的函数图象在是否是“下凸的”？如果是，给出证明；如果不是，说明理由．

 

【答案】

．（Ⅰ）（Ⅱ）a≥12（III）是

【解析】本试题主要考查了函数的解析式和函数的单调性和函数的下凸形的运用。

（1）由题意得h(x)的图象经过(3，4)，

代入得，解得m=7. ∴分

∴．

（2）∵，

∴ 由已知有≥8有a≥-x2+8x-3， 令t(x)=-x2+8x-3，则t(x)=-(x-4)2+13，于是t(x)在(0，3)上是增函数．∴ t(x)max=12．∴ a≥12

（3）的图象在是“下凸的”，根据新定义证明，

解：（Ⅰ）由题意得h(x)的图象经过(3，4)，

代入得，解得m=7.                       1分

∴                      2分

∴．                          4分

（Ⅱ）∵，

∴ 由已知有≥8有a≥-x2+8x-3，                                  6分

令t(x)=-x2+8x-3，则t(x)=-(x-4)2+13，于是t(x)在(0，3)上是增函数．

∴ t(x)max=12．

∴ a≥12．                                                              8分

（III）的图象在是“下凸的”．                9分

的图象在是“下凸的”．                12分

 

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已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5，
（1）求f（1）+f（4）的值；
（2）求y=f（x），x∈[1，4]上的解析式；
（3）求y=f（x）在[4，9]上的解析式，并求函数y=f（x）的最大值与最小值．
（2013•青岛二模）已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+ln(a+1)（其中a为常数）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）若存在一条与y轴垂直的直线和函数Γ（x）=f（x）-（a2-1）x+lnx的图象相切，且切点的横坐标x0满足x0＞2，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数y=f（x）的极大值点为m，极小值点为n，若2m+5n≥
3
sinx
cosx+2
对于x∈[0，π]恒成立，试求a的取值范围．

已知函数（），且.

（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求的极值；

（Ⅱ）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点（其中），使得点处的切线，则称存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称存在“中值伴随切线”. 试问：在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.
已知函数，且给定条件p：．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；     
（2）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（3）若条件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

已知函数（），且.

（Ⅰ）试用含有的式子表示，并求的极值；

（Ⅱ）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点（其中），使得点处的切线，则称存在“伴随切线”. 特别地，当时，又称存在“中值伴随切线”. 试问：在函数的图象上是否存在两点、使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

 

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